Top 4 công thức đạo hàm đầy đủ nhất, kèm bài tập có lời giải chi tiết

Doãn Thị Quyên - 13:45 19/12/2024

Góc kỹ thuật

Trong toán học, các công thức đạo hàm là một phần quan trọng, với ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực từ kinh tế, sinh học đến tài chính. Để hiểu rõ và áp dụng hiệu quả, việc nắm vững các công thức này là một phần không thể thiếu.

Hãy cùng MobileCity tìm hiểu các công thức đạo hàm phổ biến cùng với mẹo ghi nhớ lâu để làm việc và học tập tốt hơn nhé.

Mục lục

Các công thức đạo hàm
Cách tính đạo hàm
Các tình huống thực tế bằng cách sử dụng đạo hàm
Mẹo ghi nhớ công thức đạo hàm lâu

Các công thức đạo hàm

Đao hàm là một công cụ toán học quan trọng để xác định độ dốc của một đường cong tại một điểm cụ thể. Khi xét một hàm số f(x), đạo hàm tại điểm x = a, ký hiệu f'(a), cho biết độ dóc của đồ thị hàm số tại điểm đó.

Một số công thức đạo hàm cơ bản:

Đạo hàm của hàm số hằng: f(x) = c => f'(x) = 0
Đạo hàm của hàm số mũ: f(x) = x^n => f'(x) = nx^(n-1)
Đạo hàm của hàm số mũ tự nhiên: f(x) = e^x => f'(x) = e^x
Đạo hàm của hàm số sin và cos: f(x) = sin(x) => f'(x) = cos (x); f(x) = cos(x) => f'(x) = -sin(x)

Ngoài các công thức đạo hàm cơ bản, còn có nhiều loại công thức đạo hàm khác phục vụ cho các hàm số phức tạp. Dưới đây là tổng hợp các công thức mà bạn nên nắm vững:

Công thức đạo hàm sơ cấp

Công thức đạo hàm cấp cao

Công thức đạo hàm lượng giá

Cách tính đạo hàm

Việc tính đạo hàm có thể được thực hiện bằng nhiều cách tùy thuộc vào loại hàm số. Dưới đây là các phương pháp và quy tắc cơ bản để tính đạo hàm.

Cách tính đạo hàm của hàm số mũ

Hàm số mũ là hàm số được biểu hiện ở dạng: f(x) = a^x, trong đó, a la một hằng số dương (a > 0 )

Đạo hàm của hàm số mũ được tính bằng công thức: f'(x) = a^x*ln(a)

Trong đó:

a^x: Giữ nguyên từ hàm số ban đầu
ln(x): Logarit tự nhiên của hàm số a

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = 3^x

Áp dụng công thức: g'(x)= 3^x*ln(3)

Cách tính đạo hàm của hàm số logarit

Hàm số logarit thường gặp bao gồm (logarit tự nhiên) và (logarit cơ số ). Đạo hàm của các hàm số logarit được tính theo công thức sau:

Đạo hàm của hàm số logarit tự nhiên: f(x) = ln(x) => f'(x) = 1/x (x>0)
Đạo hàm của hàm số logarit cơ số a: f(x) = loga(x) => f'(x) = 1/x*ln(a) (x>0, a>0)

Trong đó, ln(a) là logarit tự nhiên của cơ số a.

Khi hàm logarit có dạng f(x) = ln(u(x)) hoặc f(x) = loga(u(x)), cần áp dụng công thức sau:

Hàm f(x) = ln(u(x)) => f'(x) = u'(x)/u(x), u(x) > 0
Hàm f(x) = loga*u(x)) => f'(x) = u'(x)/u(x)*ln(a), u(x) >0

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của f(x) = ln(x^2)

Áp dụng công thức: f'(x) = (x^2)'/x^2 = 2x/x^2= 2/x

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của f(x) = log2(x^3)

Áp dụng công thức: f'(x) = (sin(x))'/sin(x) = cos(x)/sin(x) = cot(x)

Cách tính đạo hàm của hàm số hợp

Hàm số hợp là một hàm có dạng f(x) = g(h(x)), trong đó g(x) và h(x) là hai hàm số. Để tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có công thức tổng quát như sau: f'(x) = g'(h(x))*h'(x)

Các bước tính đạo hàm của hàm số hợp:

Bước 1: Xác định các thành phần của hàm hợp
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm ngoài g(x)
Bước 3: Tính đạo hàm của hàm bên trong h(x)
Bước 4: Nhân đạo hàm của hàm ngoài với đạo hàm của hàm bên trong

Ví dụ: Tính đạo hàm của f(x) = sin(3x)

Ta có:

g(x) = sin(x) => g'(x) = cos(x)

h(x) = 3x => h'(x) = 3

Áp dụng công thức:

f'(x) = g'(h(x))*h'(x) = cos(3x)*3 = 3cos(3x)

Các tình huống thực tế bằng cách sử dụng đạo hàm

Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các hiện tượng tự nhiên, tối ưu hóa hiệu suất và giải quyết các vấn đề khó giải quyết.

Tối ưu hóa chi phí sản xuất

Trong quản lý sản xuất, tối ưu chi phí luôn là mục tiêu hàng đầu để đạt được lợi nhuận cao và giảm lãng phí. Đạo hàm giúp tối ưu chi phí sản xuất bằng cách tìm điểm chi phí thấp nhất, từ đó giảm lãng phí và tăng hiệu quả.

Dự đoán xu hướng tài chính

Đạo hàm hỗ trợ dự đoán xu hướng tài chính bằng cách phân tích tốc độ thay đổi giá trị tài sản như cổ phiếu hoặc lãi suất. Nhờ đó, các nhà đầu tư nhận sẽ biết xu hướng và đưa ra quyết định sáng suốt.

Ứng dụng trong sinh học

Trong lĩnh vực sinh học, đạo hàm được ứng dụng để phân tích tốc độ thay đổi của các hiện tượng như tăng trưởng vi khuẩn, lan truyền dịch bệnh, hoặc biến đổi gen. Từ đó, cung cấp thông tin hữu ích trong việc dự đoán các hiện tượng.

Ứng dụng trong IoT

Trong lĩnh vực Internet vạn vật (IoT), đạo hàm được sử dụng để giảm tiêu thụ năng lượng, nâng cao hiệu suất thiết bị và tối ưu hóa hoạt động của hệ thống thông minh.

Mẹo ghi nhớ công thức đạo hàm lâu

Ghi nhớ công thức đạo hàm sẽ dễ dàng hơn nếu bạn áp dụng các phương pháp học tập hiệu quả. Dưới đây là một số mẹo ngắn gọn giúp bạn học và nhớ lâu hơn.

Thay vì học thuộc lòng, hãy tập trung hiểu ý nghĩa và ứng dụng thực tế của đạo hàm.
Làm bài tập liên tục giúp công thức in sâu vào trí nhớ qua việc lặp lại.
Vẽ sơ đồ kết nối các công thức liên quan để ghi nhớ có hệ thống.
Phân loại công thức thành các nhóm như lượng giác, hàm mũ, logarit để dễ hệ thống hóa và ghi nhớ.
Học cùng nhóm, giải thích cho nhau giúp củng cố kiến thức và ghi nhớ lâu hơn.

Việc ghi nhớ và áp dụng các công thức đạo hàm là nền tảng quan trọng trong toán học. Trên đây là những công thức đơn giản, chính xác nhất mà chúng tôi muốn chia sẻ. Nếu bài viết hữu ích, đừng quên theo dõi MobileCity để khám phá thêm nhiều thủ thuật hay và cập nhật các thông tin mới nhất!

Xem thêm bài viết